Geometría computacional y equilibrio político

En la pasada legislatura una de las acusaciones que la mayoría de los españoles vertió sobre el sistema de partidos fue su radicalización, su antagonismo, es decir, su incapacidad de lograr políticas de equilibrio.

La teoría de juegos tradicional nos dice que el equilibrio es un lugar geométrico dado para n jugadores y t teorías u opciones políticas. Si reducimos el juego a su mínima expresión, dos jugadores (n=2), cada uno de ellos con una teoría u opción política (t1, t2); el punto de equilibrio E es el lugar geométrico donde t1 = t2, es decir, bajo los postulados de la teoría de juegos tradicional los dos partidos políticos deben realizar la misma política si desean alcanzar un equilibrio. Esta situación es la que se da por ejemplo en los equilibrios de Nash, Dows o Wittman. Gráficamente:

Resulta evidente que las posibilidades de que este tipo de equilibrio ocurra son bastante limitadas o casi imposibles. Es por ello que últimamente se están aplicando a las distintas teorías de juegos aplicaciones provenientes de la geometría matemática y la geometría computacional, con la intención de transformar ese único punto de equilibrio en una serie de nubes de puntos que den como resultado un equilibrio débil que permita situaciones de equilibrio sin que se de la condición de igualad de teorías políticas.

Un estudio ilustrativo de ello es el que realizan María Dolores López González y Javier Rodrigo Hitos en el papper titulado: “Generalización del concepto de equilibrio en juegos de competición política” Fundación de Cajas de Ahorros, documento de trabajo nº 373/2008. En palabras de los autores: “se propone una versión discreta del juego de Downs, y una debilitación de la definición clásica de equilibrio, que hace que éste no sea único, sino que se alcance en ciertas regiones que hay que determinar utilizando técnicas de la geometría computacional. Dicha propuesta proporciona posiciones de cuasi equilibrio.”

Las condiciones de partida para este tipo de juego son:

• La existencia de dos partidos políticos.
• Con dos diferentes teorías u opciones políticas.
• Ambos partidos llevan a cabo sus acciones bajo la teoría racional de las expectativas, es decir, buscan lograr el número máximo de votos en cada una de sus decisiones.

Si partimos de la lógica de que el punto de equilibrio corresponde con aquel que distribuye de forma equitativa el número de votos disponible, es decir, el 50% de los mismos para cada partido. Matemáticamente:[1]

Π¹ ( t1, t2) número de puntos p_i tales que d(p_i , t₁ ) ≤ d(p_i , t₂ )

Π² (t1, t2) = número de puntos p_i tales que d(p_i , t₁ ) > d(p_i , t₂ ) = n - Π¹ ( t1, t2)

Igualando t1 = t2, definimos que Π¹ ( t1, t2) = Π² (t1, t2) = n/2. Donde n es el número de votos.

Aplicando Nash para que se cumpla lo anterior en la posición (t*1, t*2) tenemos que el equilibrio de juegos de Nash es:

Π¹ (t1, t*2) ≤ Π¹ (t*1, t*2), Π² (t1, t*2) ≤ Π² (t*1, t*2) para todo t1, t2 є T En estas posiciones los partidos políticos saben que si se mueven no van a mejorar sus votos.

Con la misma posición ( t*1, t*2), nos encontramos en un equilibrio débil si se cumple:

Π¹ (t1, t*2) ≤ Π¹ (t*1, t*2) + 1, Π² (t1, t*2) ≤ Π² (t*1, t*2) +1 para todo t1, t2 є T

Lo que nos permite establecer una serie de condiciones de equilibrio:

Π¹ (t*1, t*2) ≥ (n/2) - 1

Π² (t*1, t*2) ≥ (n/2) - 1

Que se traduce en una condición necesaria y suficiente que se define como “la intersección de todos los posibles cierres convexos de los subconjuntos de [n/2] + s puntos de una nube de n puntos”. El desarrollo de estas condiciones necesarias y suficientes se desglosan para n par y para n impar, pues los resultados son totalmente diferentes (recordemos que n es el número de votos).

Los cierres convexos son figuras geométricas que envuelven una nube de puntos o conjunto de puntos S tal que si trazáramos un segmento entre un punto x y otro y, este segmento quedaría dentro del cierre convexo. Gráficamente[2]:

Podemos ver que en la nube de puntos, tenemos que el cierre convexo (línea verde), cierra todos los demás puntos y engloba todos los posibles segmentos que podamos dibujar entre todos los valores de x, y del conjunto S.

Aplicando el concepto de cierre convexo al equilibrio discreto bajo condiciones de equilibrios de Nash, podemos obtener en el caso de:

• n = impar (en este caso n = 5, para n igual al número de votos)

En este caso al caer t1 fuera del área de cierre convexo (pentágono en gris) y t2 dentro de él, se impide que, recurriendo a las funciones de ganancia antes expresadas:

Π¹ ( t1, t2) = 2

Π² ( t1, t2) = 3

Ninguno de los dos partidos pueda sumar[3] + 2 a sus funciones de ganancia. Con lo cual se ha logrado un punto de equilibrio débil sin necesidad de que ambas políticas sean iguales.

• n = par (en este caso n = 6, para n igual al número de votos)

Aplicando la misma deducción que se utilizó para n impar a partir de las funciones de ganancia:

Π¹ ( t1, t2) = 2

Π² ( t1, t2) = 4

Las posibilidades que abre la existencia de equilibrios débiles en el juego político son ante todo, beneficios que recaen en la propia sociedad, ya que favorecen el desarrollo de políticas pactadas y con mayor respaldo electoral y sin suponer un coste político importante para los propios partidos políticos. Como dicen los autores: “permite garantizar a un jugador que, en las posiciones de equilibrio, aunque su competidor se mueva no le será posible aumentar su ganancia en más de una unidad.”

El problema de la aplicación de equilibrios débiles radica en contextos políticos donde el voto se encuentre muy fragmentado, ya que pequeñas variaciones pueden suponer grandes ventajas electorales. Ello se debe a que cuando el número de participantes aumenta, tienen que repartirse el mismo número de votos, porque el crecimiento de la masa de votantes es casi constante en las sociedades modernas con sistemas democráticos estables. Otra crítica que puede verterse al modelo es que favorece el bipartidismo por los argumentos expuestos anteriormente; pero lejos de favorecer el bipartidismo que depende más de la estructura del sistema electoral de cada democracia, lo que podemos afirmar es que se trata de una herramienta útil para buscar consenso precisamente en casos de bipartidismo.

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[1] Formulación tomada del documento de trabajo, para desarrollos y demostraciones consultar original.

[2] Un programa para crear cierres convexos lo podemos encontrar en http://www.personal.us.es/almar/docencia/gctem5co.htm aplicación VoroGilde

[3] Debemos recordar que lo imposibilita este tipo de equilibrios es que el oponente político sume más de 1 voto por movimiento teórico o cambio político.